Jawaban soal matematika kelas 12 latihan 1.3 k13 revisi

Membedah Tuntas Latihan 1.3 Matematika Kelas 12 Kurikulum 2013 Revisi: Menjelajahi Konsep dan Solusi

Kurikulum 2013 revisi terus mendorong siswa untuk tidak hanya menghafal rumus, tetapi juga memahami esensi di balik setiap konsep matematika. Latihan 1.3 dalam buku teks matematika kelas 12 sering kali menjadi gerbang awal untuk mengaplikasikan pemahaman tersebut, khususnya dalam topik yang berkaitan dengan turunan fungsi. Latihan ini biasanya dirancang untuk menguji kemampuan siswa dalam menghitung turunan dari berbagai jenis fungsi, mulai dari fungsi polinomial sederhana hingga fungsi yang lebih kompleks melibatkan aturan rantai, perkalian, dan pembagian.

Artikel ini akan mengajak Anda untuk membedah tuntas latihan 1.3 dari Kurikulum 2013 revisi. Kita akan mengulas berbagai tipe soal yang mungkin muncul, menjelaskan konsep-konsep kunci yang mendasarinya, dan menyajikan solusi langkah demi langkah. Tujuannya adalah agar siswa dapat tidak hanya menjawab soal dengan benar, tetapi juga membangun pemahaman yang kokoh tentang bagaimana turunan bekerja dan kapan serta bagaimana menggunakannya.

Memahami Inti dari Latihan 1.3: Turunan Fungsi

Sebelum melangkah ke soal-soal spesifik, penting untuk menyegarkan kembali ingatan tentang apa itu turunan fungsi. Secara intuitif, turunan sebuah fungsi pada suatu titik merepresentasikan laju perubahan sesaat dari fungsi tersebut di titik itu. Ini sering dianalogikan dengan kemiringan garis singgung pada kurva fungsi di titik tersebut.

Dalam konteks kalkulus, turunan fungsi $f(x)$ terhadap $x$, yang dilambangkan dengan $f'(x)$ atau $fracdydx$, dapat dihitung menggunakan berbagai aturan turunan. Beberapa aturan dasar yang krusial untuk Latihan 1.3 meliputi:

1. Aturan Pangkat (Power Rule): Jika $f(x) = ax^n$, maka $f'(x) = n cdot ax^n-1$.
2. Aturan Konstanta (Constant Rule): Jika $f(x) = c$ (konstanta), maka $f'(x) = 0$.
3. Aturan Penjumlahan/Pengurangan (Sum/Difference Rule): Jika $f(x) = g(x) pm h(x)$, maka $f'(x) = g'(x) pm h'(x)$.
4. Aturan Perkalian (Product Rule): Jika $f(x) = u(x) cdot v(x)$, maka $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
5. Aturan Pembagian (Quotient Rule): Jika $f(x) = fracu(x)v(x)$, maka $f'(x) = fracu'(x)v(x) – u(x)v'(x)(v(x))^2$.
6. Aturan Rantai (Chain Rule): Jika $f(x) = g(h(x))$, maka $f'(x) = g'(h(x)) cdot h'(x)$.

Latihan 1.3 biasanya menggabungkan aturan-aturan ini dalam berbagai kombinasi.

Tipe-Tipe Soal yang Umum dalam Latihan 1.3 dan Solusinya

Mari kita bedah beberapa contoh soal yang sering muncul dalam Latihan 1.3 dan bagaimana cara menyelesaikannya.

Tipe 1: Fungsi Polinomial Sederhana

Soal-soal dalam kategori ini menguji pemahaman dasar tentang Aturan Pangkat dan Aturan Penjumlahan/Pengurangan.

• Contoh Soal: Tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x) = 3x^4 – 2x^3 + 5x – 7$.

• Solusi:
  Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menerapkan Aturan Pangkat pada setiap suku.

  • Turunan dari $3x^4$ adalah $4 cdot 3x^4-1 = 12x^3$.
  • Turunan dari $-2x^3$ adalah $3 cdot (-2)x^3-1 = -6x^2$.
  • Turunan dari $5x$ (yang sama dengan $5x^1$) adalah $1 cdot 5x^1-1 = 5x^0 = 5$.
  • Turunan dari $-7$ (konstanta) adalah $0$.

  Dengan menerapkan Aturan Penjumlahan/Pengurangan, kita gabungkan hasil turunan dari setiap suku:
  $f'(x) = 12x^3 – 6x^2 + 5 – 0$
  $f'(x) = 12x^3 – 6x^2 + 5$

Tipe 2: Fungsi yang Melibatkan Aturan Perkalian

Soal-soal ini mengharuskan siswa untuk mengidentifikasi dua fungsi yang saling dikalikan dan menerapkan Aturan Perkalian.

• Contoh Soal: Tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x) = (2x^2 + 1)(x^3 – 3x)$.

• Solusi:
  Kita identifikasi $u(x) = 2x^2 + 1$ dan $v(x) = x^3 – 3x$.
  Langkah pertama adalah mencari turunan dari $u(x)$ dan $v(x)$:

  • $u'(x) = fracddx(2x^2 + 1) = 4x$.
  • $v'(x) = fracddx(x^3 – 3x) = 3x^2 – 3$.

  Sekarang, kita terapkan Aturan Perkalian: $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
  $f'(x) = (4x)(x^3 – 3x) + (2x^2 + 1)(3x^2 – 3)$

  Selanjutnya, kita ekspansi dan sederhanakan:
  $f'(x) = (4x^4 – 12x^2) + (6x^4 – 6x^2 + 3x^2 – 3)$
  $f'(x) = 4x^4 – 12x^2 + 6x^4 – 3x^2 – 3$
  $f'(x) = (4x^4 + 6x^4) + (-12x^2 – 3x^2) – 3$
  $f'(x) = 10x^4 – 15x^2 – 3$

Tipe 3: Fungsi yang Melibatkan Aturan Pembagian

Soal-soal ini meminta siswa untuk mengidentifikasi pembilang dan penyebut, kemudian menerapkan Aturan Pembagian.

• Contoh Soal: Tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x) = fracx+2x-1$.

• Solusi:
  Kita identifikasi $u(x) = x+2$ dan $v(x) = x-1$.
  Cari turunan dari $u(x)$ dan $v(x)$:

  • $u'(x) = fracddx(x+2) = 1$.
  • $v'(x) = fracddx(x-1) = 1$.

  Terapkan Aturan Pembagian: $f'(x) = fracu'(x)v(x) – u(x)v'(x)(v(x))^2$.
  $f'(x) = frac(1)(x-1) – (x+2)(1)(x-1)^2$

  Sederhanakan pembilangnya:
  $f'(x) = fracx – 1 – (x + 2)(x-1)^2$
  $f'(x) = fracx – 1 – x – 2(x-1)^2$
  $f'(x) = frac-3(x-1)^2$

Tipe 4: Fungsi yang Melibatkan Aturan Rantai

Ini adalah salah satu tipe soal yang paling penting dan seringkali paling menantang, karena melibatkan fungsi yang "bersarang".

• Contoh Soal: Tentukan turunan pertama dari fungsi $f(x) = (3x^2 – 5x + 1)^5$.

• Solusi:
  Fungsi ini dapat dilihat sebagai komposisi dua fungsi. Misalkan $g(u) = u^5$ dan $h(x) = 3x^2 – 5x + 1$. Maka $f(x) = g(h(x))$.
  Cari turunan dari $g(u)$ terhadap $u$ dan $h(x)$ terhadap $x$:

  • $g'(u) = fracddu(u^5) = 5u^4$.
  • $h'(x) = fracddx(3x^2 – 5x + 1) = 6x – 5$.

  Terapkan Aturan Rantai: $f'(x) = g'(h(x)) cdot h'(x)$.
  Kita perlu mengganti $u$ kembali dengan $h(x) = 3x^2 – 5x + 1$ pada $g'(u)$.
  $f'(x) = 5(3x^2 – 5x + 1)^4 cdot (6x – 5)$

  Ini adalah bentuk turunan yang sudah disederhanakan.
  $f'(x) = 5(6x – 5)(3x^2 – 5x + 1)^4$

Tips dan Strategi untuk Sukses dalam Latihan 1.3

1. Pahami Setiap Aturan: Pastikan Anda benar-benar mengerti kapan dan bagaimana menggunakan setiap aturan turunan. Latihan berulang adalah kunci.
2. Identifikasi Fungsi dengan Jelas: Sebelum menerapkan aturan, identifikasi dengan cermat apakah fungsi tersebut adalah polinomial, perkalian, pembagian, atau komposisi fungsi.
3. Tulis Langkah-langkahnya: Jangan terburu-buru. Tulis setiap langkah perhitungan dengan rapi. Ini membantu Anda menemukan kesalahan jika ada dan memudahkan proses belajar.
4. Sederhanakan dengan Hati-hati: Setelah mendapatkan hasil turunan, luangkan waktu untuk menyederhanakan ekspresi tersebut. Perhatikan tanda negatif dan kombinasikan suku-suku yang sejenis.
5. Gunakan Notasi yang Konsisten: Gunakan notasi $f'(x)$ atau $fracdydx$ secara konsisten untuk menghindari kebingungan.
6. Latihan Soal Bervariasi: Carilah soal-soal latihan tambahan dari berbagai sumber untuk memperkaya pemahaman Anda. Soal-soal yang lebih kompleks seringkali merupakan kombinasi dari aturan-aturan dasar.
7. Periksa Ulang Jawaban Anda: Setelah selesai, luangkan waktu untuk memeriksa kembali setiap langkah perhitungan Anda. Kesalahan kecil seperti salah tanda atau salah pangkat bisa mengubah hasil akhir secara drastis.
8. Fokus pada Konsep, Bukan Hafalan: Ingatlah bahwa tujuan utama adalah memahami bagaimana turunan bekerja. Dengan pemahaman yang kuat, Anda akan lebih mudah menghadapi variasi soal yang lebih sulit.

Mengapa Turunan Penting?

Memahami turunan bukan hanya tentang menyelesaikan soal latihan. Turunan memiliki aplikasi yang sangat luas dalam berbagai bidang, termasuk:

• Fisika: Menghitung kecepatan, percepatan, dan laju perubahan kuantitas lainnya.
• Ekonomi: Menganalisis biaya marjinal, pendapatan marjinal, dan keuntungan marjinal.
• Optimisasi: Menemukan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi, yang sangat berguna dalam desain, produksi, dan pengambilan keputusan.
• Grafik Fungsi: Menentukan kemiringan, titik stasioner (maksimum, minimum, belok), dan titik infleksi untuk memahami bentuk kurva fungsi.

Kesimpulan

Latihan 1.3 dalam matematika kelas 12 Kurikulum 2013 revisi merupakan langkah krusial dalam membangun fondasi pemahaman tentang kalkulus. Dengan menguasai aturan-aturan dasar turunan dan menerapkannya pada berbagai tipe soal, siswa tidak hanya akan berhasil menyelesaikan tugas sekolah, tetapi juga membekali diri dengan alat matematis yang ampuh untuk memahami dunia di sekitar mereka. Ingatlah bahwa konsistensi dalam latihan, pemahaman konsep yang mendalam, dan ketelitian dalam perhitungan adalah kunci utama menuju keberhasilan. Teruslah berlatih dan jangan ragu untuk mencari bantuan ketika Anda menghadapi kesulitan.

>