Jawaban soal latihan 1.3 matematika kelas 12 halaman 24

Membedah Tuntas Soal Latihan 1.3 Matematika Kelas 12 Halaman 24: Penguasaan Konsep Transformasi Geometri

Pendahuluan

Matematika kelas 12 merupakan gerbang terakhir sebelum jenjang perguruan tinggi, dan pemahaman mendalam terhadap konsep-konsepnya menjadi krusial. Salah satu topik fundamental yang seringkali menjadi fokus dalam kurikulum adalah Transformasi Geometri. Bab ini tidak hanya mengajarkan bagaimana menggeser, memutar, mencerminkan, atau meregangkan sebuah objek, tetapi juga bagaimana merepresentasikan transformasi tersebut dalam bentuk matriks dan menganalisis sifat-sifatnya.

Pada buku teks matematika kelas 12, soal latihan 1.3 di halaman 24 biasanya menyajikan serangkaian permasalahan yang menguji pemahaman siswa mengenai berbagai jenis transformasi geometri, baik secara visual maupun analitis. Artikel ini akan menjadi panduan komprehensif untuk membedah tuntas setiap jenis soal yang mungkin muncul dalam latihan tersebut, memberikan penjelasan rinci, strategi penyelesaian, dan contoh-contoh kasus yang relevan. Dengan demikian, diharapkan siswa dapat lebih percaya diri dalam menghadapi soal-soal serupa dan menguasai konsep transformasi geometri dengan kokoh.

Memahami Fondasi: Jenis-Jenis Transformasi Geometri

Sebelum menyelami soal latihan, penting untuk mereview kembali konsep dasar dari setiap jenis transformasi geometri:

1. Translasi (Pergeseran): Transformasi ini memindahkan setiap titik pada bangun geometri sejauh vektor tertentu. Jika sebuah titik $A(x, y)$ ditranslasikan oleh vektor $beginpmatrix a b endpmatrix$, maka bayangannya adalah $A'(x+a, y+b)$. Dalam bentuk matriks, translasi tidak direpresentasikan secara langsung oleh matriks perkalian karena sifatnya yang aditif, namun dapat digambarkan dengan penambahan vektor.

2. Refleksi (Pencerminan): Transformasi ini menghasilkan bayangan bangun geometri seolah-olah dilihat dari cermin. Ada beberapa jenis refleksi dasar:

   • Refleksi terhadap sumbu-x: $A(x, y) rightarrow A'(x, -y)$
   • Refleksi terhadap sumbu-y: $A(x, y) rightarrow A'(-x, y)$
   • Refleksi terhadap garis $y=x$: $A(x, y) rightarrow A'(y, x)$
   • Refleksi terhadap garis $y=-x$: $A(x, y) rightarrow A'(-y, -x)$
   • Refleksi terhadap titik asal (0,0): $A(x, y) rightarrow A'(-x, -y)$
   • Refleksi terhadap garis $x=h$: $A(x, y) rightarrow A'(2h-x, y)$
   • Refleksi terhadap garis $y=k$: $A(x, y) rightarrow A'(x, 2k-y)$
   • Refleksi terhadap garis $ax+by+c=0$: Rumusnya lebih kompleks dan biasanya dihindari dalam soal dasar.

3. Rotasi (Perputaran): Transformasi ini memutar bangun geometri mengelilingi sebuah titik pusat rotasi sejauh sudut tertentu.

   • Rotasi berpusat di titik asal (0,0) sejauh $theta$: $A(x, y) rightarrow A'(xcostheta – ysintheta, xsintheta + ycostheta)$. Dalam bentuk matriks, matriks rotasi adalah $R(theta) = beginpmatrix costheta & -sintheta sintheta & costheta endpmatrix$.
   • Rotasi berpusat di titik $P(a, b)$ sejauh $theta$: Langkahnya adalah translasi titik $P$ ke titik asal, rotasi, lalu translasi kembali.

4. Dilatasi (Perbesaran/Pengecilan): Transformasi ini mengubah ukuran bangun geometri dengan faktor skala tertentu.

   • Dilatasi berpusat di titik asal (0,0) dengan faktor skala $k$: $A(x, y) rightarrow A'(kx, ky)$. Dalam bentuk matriks, matriks dilatasi adalah $D(k) = beginpmatrix k & 0 0 & k endpmatrix$.
   • Dilatasi berpusat di titik $P(a, b)$ dengan faktor skala $k$: Mirip dengan rotasi, lakukan translasi, dilatasi, lalu translasi kembali.

Strategi Umum Menyelesaikan Soal Latihan 1.3

Soal latihan 1.3 di halaman 24 umumnya akan mencakup kombinasi dari jenis-jenis transformasi di atas. Strategi umum untuk menyelesaikannya meliputi:

• Identifikasi Jenis Transformasi: Perhatikan kata kunci dalam soal. Apakah ada kata "pergeseran" (translasi), "pencerminan" (refleksi), "perputaran" (rotasi), atau "perbesaran/pengecilan" (dilatasi).
• Tentukan Titik atau Bangun yang Ditransformasi: Perhatikan titik koordinat spesifik atau persamaan bangun geometri yang diberikan.
• Gunakan Rumus yang Tepat: Pilih rumus transformasi yang sesuai dengan jenis transformasi dan titik pusatnya.
• Kerjakan Secara Bertahap (jika transformasi majemuk): Jika soal melibatkan dua atau lebih transformasi berurutan, kerjakan satu per satu. Tentukan bayangan dari transformasi pertama, lalu gunakan bayangan tersebut sebagai objek untuk transformasi kedua, dan seterusnya.
• Representasi Matriks: Jika soal meminta representasi matriks, ingatlah matriks-matriks standar untuk refleksi, rotasi, dan dilatasi. Untuk translasi, biasanya tidak menggunakan matriks perkalian langsung.
• Verifikasi Jawaban: Jika memungkinkan, gambarlah sketsa kasar dari bangun dan bayangannya untuk memastikan hasilnya masuk akal.

Membahas Contoh Soal (Simulasi Soal Latihan 1.3)

Mari kita simulasikan beberapa tipe soal yang mungkin muncul dalam latihan 1.3 halaman 24 dan memberikan solusi langkah demi langkah.

Contoh Soal 1: Translasi Sederhana

• Soal: Tentukan bayangan titik $A(3, -2)$ jika ditranslasikan oleh vektor $beginpmatrix -5 4 endpmatrix$.

• Pembahasan:
  Ini adalah soal translasi langsung. Kita perlu menambahkan komponen vektor translasi ke koordinat titik asli.
  Titik asli: $A(x, y) = (3, -2)$
  Vektor translasi: $beginpmatrix a b endpmatrix = beginpmatrix -5 4 endpmatrix$

  Rumus translasi: $A'(x+a, y+b)$

  Substitusikan nilai-nilainya:
  $x’ = 3 + (-5) = -2$
  $y’ = -2 + 4 = 2$

  Jadi, bayangan titik A adalah $A'(-2, 2)$.

Contoh Soal 2: Refleksi Terhadap Garis

• Soal: Tentukan bayangan titik $B(4, 1)$ setelah dicerminkan terhadap garis $y = -x$.

• Pembahasan:
  Ini adalah soal refleksi. Kita perlu mengingat rumus refleksi terhadap garis $y = -x$.
  Titik asli: $B(x, y) = (4, 1)$

  Rumus refleksi terhadap garis $y = -x$: $B'(x, y) rightarrow B'(-y, -x)$

  Substitusikan nilai-nilai $x$ dan $y$:
  $x’ = -(1) = -1$
  $y’ = -(4) = -4$

  Jadi, bayangan titik B adalah $B'(-1, -4)$.

Contoh Soal 3: Rotasi dengan Matriks

• Soal: Titik $C(-1, 5)$ dirotasikan sebesar $90^circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal. Tentukan bayangan titik C menggunakan perkalian matriks.

• Pembahasan:
  Ini adalah soal rotasi yang memerlukan representasi matriks.
  Titik asli: $C(x, y) = (-1, 5)$
  Sudut rotasi: $theta = 90^circ$ (berlawanan arah jarum jam)

  Matriks rotasi untuk rotasi sebesar $theta$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal adalah:
  $R(theta) = beginpmatrix costheta & -sintheta sintheta & costheta endpmatrix$

  Untuk $theta = 90^circ$:
  $cos(90^circ) = 0$
  $sin(90^circ) = 1$

  Maka, matriks rotasinya adalah:
  $R(90^circ) = beginpmatrix 0 & -1 1 & 0 endpmatrix$

  Koordinat titik C dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom: $beginpmatrix -1 5 endpmatrix$.

  Bayangan titik C, $C’$, diperoleh dengan mengalikan matriks rotasi dengan matriks koordinat titik C:
  $beginpmatrix x’ y’ endpmatrix = R(90^circ) beginpmatrix x y endpmatrix = beginpmatrix 0 & -1 1 & 0 endpmatrix beginpmatrix -1 5 endpmatrix$

  Lakukan perkalian matriks:
  $x’ = (0 times -1) + (-1 times 5) = 0 – 5 = -5$
  $y’ = (1 times -1) + (0 times 5) = -1 + 0 = -1$

  Jadi, bayangan titik C adalah $C'(-5, -1)$.

Contoh Soal 4: Dilatasi Terhadap Titik Lain

• Soal: Titik $D(2, 3)$ didilatasikan dengan faktor skala $k=3$ terhadap titik pusat $P(1, 2)$. Tentukan bayangan titik D.

• Pembahasan:
  Ini adalah soal dilatasi dengan titik pusat yang bukan titik asal. Langkah-langkahnya adalah:

  1. Translasi titik pusat $P$ ke titik asal.
  2. Lakukan dilatasi terhadap titik D yang telah ditranslasikan.
  3. Translasi kembali bayangan hasil dilatasi sesuai dengan translasi awal.

  Titik asli: $D(x, y) = (2, 3)$
  Titik pusat dilatasi: $P(a, b) = (1, 2)$
  Faktor skala: $k = 3$

  Langkah 1: Translasi P ke Titik Asal
  Vektor translasi adalah $-vecOP = beginpmatrix -1 -2 endpmatrix$.
  Titik D ditranslasikan sejauh $beginpmatrix -1 -2 endpmatrix$:
  $Dtranslasi(xt, y_t) = (2 + (-1), 3 + (-2)) = (1, 1)$.

  Langkah 2: Dilatasi Titik D_translasi
  Titik $Dtranslasi(1, 1)$ didilatasikan dengan faktor skala $k=3$ terhadap titik asal.
  $Ddilatasi(xd, yd) = (k times xt, k times yt)$
  $Ddilatasi(xd, y_d) = (3 times 1, 3 times 1) = (3, 3)$.

  Langkah 3: Translasi Kembali
  Bayangan hasil dilatasi $(3, 3)$ ditranslasikan kembali sejauh vektor translasi awal, yaitu $beginpmatrix 1 2 endpmatrix$ (kebalikan dari translasi pertama).
  $D'(x’, y’) = (3 + 1, 3 + 2) = (4, 5)$.

  Jadi, bayangan titik D adalah $D'(4, 5)$.

  Alternatif menggunakan rumus langsung:
  Jika titik $A(x, y)$ didilatasikan dengan faktor skala $k$ terhadap titik $P(a, b)$, maka bayangannya $A'(x’, y’)$ adalah:
  $x’ = a + k(x-a)$
  $y’ = b + k(y-b)$

  Menggunakan rumus ini untuk titik $D(2, 3)$ dengan pusat $P(1, 2)$ dan $k=3$:
  $x’ = 1 + 3(2-1) = 1 + 3(1) = 1 + 3 = 4$
  $y’ = 2 + 3(3-2) = 2 + 3(1) = 2 + 3 = 5$

  Hasilnya sama, $D'(4, 5)$.

Contoh Soal 5: Transformasi Majemuk (Komposisi Transformasi)

• Soal: Titik $E(2, -1)$ ditransformasikan oleh rotasi sebesar $180^circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal, dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-x. Tentukan bayangan akhir titik E.

• Pembahasan:
  Ini adalah soal komposisi transformasi. Kita kerjakan langkah demi langkah.
  Titik asli: $E(x, y) = (2, -1)$

  Transformasi Pertama: Rotasi $180^circ$ terhadap titik asal
  Matriks rotasi untuk $180^circ$ adalah:
  $R(180^circ) = beginpmatrix cos 180^circ & -sin 180^circ sin 180^circ & cos 180^circ endpmatrix = beginpmatrix -1 & 0 0 & -1 endpmatrix$

  Bayangan setelah rotasi, $E’$:
  $beginpmatrix x’ y’ endpmatrix = beginpmatrix -1 & 0 0 & -1 endpmatrix beginpmatrix 2 -1 endpmatrix = beginpmatrix -2 1 endpmatrix$
  Jadi, $E'(-2, 1)$.

  Transformasi Kedua: Refleksi terhadap sumbu-x
  Sekarang, titik $E'(-2, 1)$ dicerminkan terhadap sumbu-x.
  Rumus refleksi terhadap sumbu-x: $(x, y) rightarrow (x, -y)$

  Bayangan akhir, $E”$:
  $x” = -2$
  $y” = -(1) = -1$

  Jadi, bayangan akhir titik E adalah $E”(-2, -1)$.

  Menggunakan Matriks Komposisi (jika soal meminta):
  Matriks refleksi terhadap sumbu-x adalah $Mx = beginpmatrix 1 & 0 0 & -1 endpmatrix$.
  Matriks rotasi $180^circ$ adalah $R180 = beginpmatrix -1 & 0 0 & -1 endpmatrix$.

  Urutan transformasi adalah rotasi (R) dilanjutkan refleksi (M). Maka matriks komposisinya adalah $Mx times R180$.
  $M_komposisi = beginpmatrix 1 & 0 0 & -1 endpmatrix beginpmatrix -1 & 0 0 & -1 endpmatrix = beginpmatrix (1)(-1)+(0)(0) & (1)(0)+(0)(-1) (0)(-1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(-1) endpmatrix = beginpmatrix -1 & 0 0 & 1 endpmatrix$

  Mengalikan matriks komposisi dengan titik asli E:
  $beginpmatrix x” y” endpmatrix = beginpmatrix -1 & 0 0 & 1 endpmatrix beginpmatrix 2 -1 endpmatrix = beginpmatrix (-1)(2)+(0)(-1) (0)(2)+(1)(-1) endpmatrix = beginpmatrix -2 -1 endpmatrix$

  Hasilnya sama, $E”(-2, -1)$. Perhatikan bahwa matriks komposisi ini merepresentasikan refleksi terhadap sumbu-y.

Contoh Soal 6: Transformasi pada Persamaan Kurva

• Soal: Bayangan kurva $y = 2x^2 – 3$ oleh translasi $beginpmatrix 1 -2 endpmatrix$ adalah …

• Pembahasan:
  Untuk mentransformasi persamaan kurva, kita perlu melakukan substitusi terbalik.
  Misalkan titik $(x, y)$ adalah titik pada kurva asli, dan bayangannya adalah $(x’, y’)$.
  Diketahui translasi $beginpmatrix 1 -2 endpmatrix$, maka:
  $x’ = x + 1 Rightarrow x = x’ – 1$
  $y’ = y – 2 Rightarrow y = y’ + 2$

  Sekarang substitusikan $x$ dan $y$ ini ke dalam persamaan kurva asli:
  $y = 2x^2 – 3$
  $(y’ + 2) = 2(x’ – 1)^2 – 3$

  Kita bisa menyederhanakan persamaan ini untuk mendapatkan bentuk bayangannya. Biasanya, kita hilangkan tanda aksen pada $x’$ dan $y’$ untuk menyatakan persamaan kurva bayangan.
  $y’ + 2 = 2((x’)^2 – 2x’ + 1) – 3$
  $y’ + 2 = 2(x’)^2 – 4x’ + 2 – 3$
  $y’ + 2 = 2(x’)^2 – 4x’ – 1$
  $y’ = 2(x’)^2 – 4x’ – 1 – 2$
  $y’ = 2(x’)^2 – 4x’ – 3$

  Jadi, bayangan kurva tersebut adalah $y = 2x^2 – 4x – 3$.

Penutup

Menguasai transformasi geometri adalah kunci untuk memahami konsep-konsep matematika lanjutan, terutama dalam aljabar linear dan geometri analitik. Soal latihan 1.3 di halaman 24 pada buku matematika kelas 12 dirancang untuk memupuk pemahaman ini melalui berbagai skenario. Dengan memahami jenis-jenis transformasi, rumus-rumusnya, dan strategi penyelesaian yang sistematis, siswa dapat dengan percaya diri menyelesaikan soal-soal yang ada.

Ingatlah bahwa latihan yang konsisten adalah kunci utama keberhasilan. Jangan ragu untuk menggambar sketsa, mencoba berbagai pendekatan, dan bertanya jika menemui kesulitan. Dengan pembekalan materi dan contoh yang telah dibahas, diharapkan Anda kini memiliki pemahaman yang lebih mendalam dan siap untuk menaklukkan setiap tantangan yang disajikan dalam soal latihan 1.3. Selamat belajar dan teruslah berlatih!

>