Menguasai Ulangan Matematika Semester 2 Kelas 11: Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan Mendalam

Semester 2 kelas 11 merupakan periode krusial dalam pembelajaran matematika di jenjang SMA. Materi yang disajikan cenderung lebih mendalam dan aplikatif, mempersiapkan siswa untuk tingkat yang lebih tinggi maupun ujian nasional. Memahami konsep-konsep penting dan mampu menerapkannya dalam berbagai jenis soal adalah kunci keberhasilan dalam menghadapi ulangan akhir semester.

Artikel ini hadir untuk membantu Anda mempersiapkan diri secara optimal. Kami akan menyajikan kumpulan contoh soal ulangan matematika semester 2 kelas 11 yang mencakup topik-topik utama, disertai dengan pembahasan singkat namun padat. Tujuannya adalah agar Anda tidak hanya mengetahui jawabannya, tetapi juga memahami alur berpikir dan strategi penyelesaian setiap soal.

Topik-Topik Utama yang Umum Muncul dalam Ulangan Matematika Semester 2 Kelas 11:

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita tinjau kembali topik-topik yang biasanya menjadi fokus dalam semester 2 kelas 11:

1. Trigonometri Lanjutan: Meliputi identitas trigonometri, persamaan trigonometri, rumus jumlah dan selisih sudut, rumus sudut rangkap, serta aplikasi trigonometri dalam segitiga.
2. Program Linear: Memahami konsep sistem pertidaksamaan linear dua variabel, fungsi tujuan, dan menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) menggunakan metode grafik.
3. Matriks: Operasi dasar matriks (penjumlahan, pengurangan, perkalian), determinan, invers matriks, dan penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan matriks.
4. Transformasi Geometri: Meliputi translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi (perputaran), dilatasi (perbesaran), serta komposisi transformasi.
5. Statistika: Ukuran pemusatan (mean, median, modus), ukuran penyebaran (jangkauan, kuartil, simpangan baku), serta pengolahan data dalam bentuk tabel dan grafik.
6. Peluang: Peluang kejadian tunggal, peluang kejadian majemuk (saling lepas, tidak saling lepas, saling bebas, bersyarat), serta aturan pencacahan (permutasi dan kombinasi).

Mari kita bedah satu per satu contoh soal dari setiap topik tersebut.

Bagian 1: Trigonometri Lanjutan

Trigonometri seringkali menjadi topik yang menantang karena banyaknya identitas dan rumus yang perlu dihafal serta dipahami. Penguasaan identitas dasar adalah kunci untuk menyederhanakan ekspresi dan menyelesaikan persamaan.

Contoh Soal 1.1:

Sederhanakan bentuk $fracsin(2x)1+cos(2x)$!

Pembahasan:

Untuk menyederhanakan ekspresi ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri sudut rangkap:

• $sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)$
• $cos(2x) = 2 cos^2(x) – 1$

Substitusikan identitas ini ke dalam ekspresi:
$fracsin(2x)1+cos(2x) = frac2 sin(x) cos(x)1+(2 cos^2(x) – 1)$

Sederhanakan penyebutnya:
$= frac2 sin(x) cos(x)2 cos^2(x)$

Sekarang, kita bisa membatalkan suku yang sama di pembilang dan penyebut:
$= fracsin(x)cos(x)$

Berdasarkan identitas trigonometri, $fracsin(x)cos(x) = tan(x)$.

Jadi, bentuk sederhana dari $fracsin(2x)1+cos(2x)$ adalah $tan(x)$.

Contoh Soal 1.2:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $cos(2x) – 3sin(x) + 1 = 0$ untuk $0^circ le x le 360^circ$.

Pembahasan:

Pertama, kita ubah $cos(2x)$ menjadi bentuk yang melibatkan $sin(x)$ agar persamaan hanya memiliki satu jenis fungsi trigonometri. Gunakan identitas $cos(2x) = 1 – 2sin^2(x)$.

Substitusikan ke dalam persamaan:
$(1 – 2sin^2(x)) – 3sin(x) + 1 = 0$

Rapikan persamaan:
$-2sin^2(x) – 3sin(x) + 2 = 0$

Kalikan dengan -1 agar koefisien $sin^2(x)$ positif:
$2sin^2(x) + 3sin(x) – 2 = 0$

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk $sin(x)$. Misalkan $y = sin(x)$, maka persamaan menjadi $2y^2 + 3y – 2 = 0$.
Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
$(2y – 1)(y + 2) = 0$

Ini memberikan dua kemungkinan solusi untuk $y$:

1. $2y – 1 = 0 implies y = frac12$
2. $y + 2 = 0 implies y = -2$

Kembalikan $y$ ke $sin(x)$:

1. $sin(x) = frac12$
2. $sin(x) = -2$

Nilai $sin(x)$ tidak mungkin kurang dari -1 atau lebih dari 1. Oleh karena itu, $sin(x) = -2$ tidak memiliki solusi real.

Sekarang, kita cari solusi untuk $sin(x) = frac12$ dalam interval $0^circ le x le 360^circ$.
Nilai sinus positif berada di Kuadran I dan Kuadran II.

• Di Kuadran I, sudut yang memiliki sinus $frac12$ adalah $30^circ$.
• Di Kuadran II, sudutnya adalah $180^circ – 30^circ = 150^circ$.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $30^circ, 150^circ$.

Bagian 2: Program Linear

Program linear fokus pada optimasi atau penentuan nilai maksimum/minimum suatu fungsi tujuan dengan kendala-kendala yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linear. Metode grafik adalah cara visual untuk menemukan daerah penyelesaian dan titik-titik ekstremnya.

Contoh Soal 2.1:

Seorang pedagang menjual dua jenis buah, yaitu mangga dan apel. Ia memiliki modal Rp 2.000.000,00. Harga beli mangga adalah Rp 5.000,00 per kg dan harga beli apel adalah Rp 10.000,00 per kg. Pedagang tersebut membeli paling sedikit 100 kg buah. Kapasitas gerobaknya hanya dapat menampung paling banyak 250 kg buah. Jika keuntungan mangga Rp 2.000,00 per kg dan keuntungan apel Rp 3.000,00 per kg, tentukan keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut.

Pembahasan:

Misalkan:

• $x$ = jumlah mangga yang dibeli (dalam kg)
• $y$ = jumlah apel yang dibeli (dalam kg)

Kendala-kendala yang dapat dirumuskan:

1. Modal: $5000x + 10000y le 2000000$ (Bagi 5000: $x + 2y le 400$)
2. Jumlah Buah Minimum: $x + y ge 100$
3. Kapasitas Gerobak: $x + y le 250$
4. Non-negatif: $x ge 0$, $y ge 0$

Fungsi tujuan (keuntungan) yang ingin dimaksimalkan adalah:
$Z = 2000x + 3000y$

Sekarang kita gambarkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut. Titik-titik potong garis-garis kendala akan menjadi kandidat nilai optimum.

• Garis 1: $x + 2y = 400$. Titik potong sumbu x: (400, 0). Titik potong sumbu y: (0, 200).
• Garis 2: $x + y = 100$. Titik potong sumbu x: (100, 0). Titik potong sumbu y: (0, 100).
• Garis 3: $x + y = 250$. Titik potong sumbu x: (250, 0). Titik potong sumbu y: (0, 250).

Kita perlu mencari titik-titik sudut daerah penyelesaian yang dibatasi oleh garis-garis ini dan sumbu koordinat ($x ge 0, y ge 0$). Titik-titik sudut yang relevan adalah perpotongan dari garis-garis kendala.

Titik A: Perpotongan $x+y=100$ dan sumbu y ($x=0$). Diperoleh (0, 100).
Titik B: Perpotongan $x+2y=400$ dan sumbu y ($x=0$). Diperoleh (0, 200).
Titik C: Perpotongan $x+2y=400$ dan $x+y=250$.
$x+2y = 400$
$x+y = 250$
Kurangi persamaan kedua dari yang pertama: $y = 150$.
Substitusi $y=150$ ke $x+y=250$: $x+150=250 implies x=100$.
Diperoleh titik (100, 150).

Titik D: Perpotongan $x+y=250$ dan sumbu x ($y=0$). Diperoleh (250, 0).
Titik E: Perpotongan $x+y=100$ dan sumbu x ($y=0$). Diperoleh (100, 0).

Kita perlu memeriksa titik-titik sudut yang memenuhi semua kendala:

• (0, 100): $0+2(100) = 200 le 400$ (OK). $0+100=100 ge 100$ (OK). $0+100=100 le 250$ (OK).
• (0, 200): $0+2(200) = 400 le 400$ (OK). $0+200=200 ge 100$ (OK). $0+200=200 le 250$ (OK).
• (100, 150): $100+2(150) = 100+300 = 400 le 400$ (OK). $100+150=250 ge 100$ (OK). $100+150=250 le 250$ (OK).
• (250, 0): $250+2(0) = 250 le 400$ (OK). $250+0=250 ge 100$ (OK). $250+0=250 le 250$ (OK).
• (100, 0): $100+2(0) = 100 le 400$ (OK). $100+0=100 ge 100$ (OK). $100+0=100 le 250$ (OK).

Titik-titik sudut yang memenuhi semua kendala adalah (0, 100), (0, 200), (100, 150), (250, 0), dan (100, 0). Namun, dari gambar daerah penyelesaian, titik (100,0) tidak termasuk dalam daerah yang dibatasi $x+2y le 400$ dan $x+y ge 100$. Titik-titik sudut yang benar adalah perpotongan garis-garis di dalam daerah yang dibatasi oleh semua pertidaksamaan. Titik-titik sudut yang valid adalah:

• Titik perpotongan $x+y=100$ dan $x=0$: (0, 100)
• Titik perpotongan $x+2y=400$ dan $x=0$: (0, 200)
• Titik perpotongan $x+2y=400$ dan $x+y=250$: (100, 150)
• Titik perpotongan $x+y=250$ dan $y=0$: (250, 0)
• Titik perpotongan $x+y=100$ dan $y=0$: (100, 0) – perlu dicek lagi
  Untuk (100,0): $100+0 le 250$ (OK), $100+0 ge 100$ (OK), $100+0 le 400$ (OK). Jadi (100,0) valid.

Mari kita evaluasi fungsi tujuan $Z = 2000x + 3000y$ di titik-titik sudut yang valid:

• Di (0, 100): $Z = 2000(0) + 3000(100) = 300.000$
• Di (0, 200): $Z = 2000(0) + 3000(200) = 600.000$
• Di (100, 150): $Z = 2000(100) + 3000(150) = 200.000 + 450.000 = 650.000$
• Di (250, 0): $Z = 2000(250) + 3000(0) = 500.000$
• Di (100, 0): $Z = 2000(100) + 3000(0) = 200.000$

Nilai maksimum adalah Rp 650.000,00.

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut adalah Rp 650.000,00 dengan membeli 100 kg mangga dan 150 kg apel.

Bagian 3: Matriks

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang. Operasi matriks, determinan, invers, dan aplikasinya dalam penyelesaian SPL adalah materi penting.

Contoh Soal 3.1:

Diketahui matriks $A = beginpmatrix 2 & 1 3 & 4 endpmatrix$ dan $B = beginpmatrix 1 & -2 0 & 5 endpmatrix$. Tentukan hasil dari $2A – B^T$.

Pembahasan:

Pertama, kita cari transpose dari matriks B, yaitu $B^T$. Transpose matriks diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom atau sebaliknya.
$B^T = beginpmatrix 1 & 0 -2 & 5 endpmatrix$

Selanjutnya, kita hitung $2A$:
$2A = 2 beginpmatrix 2 & 1 3 & 4 endpmatrix = beginpmatrix 2 times 2 & 2 times 1 2 times 3 & 2 times 4 endpmatrix = beginpmatrix 4 & 2 6 & 8 endpmatrix$

Terakhir, kita hitung $2A – B^T$:
$2A – B^T = beginpmatrix 4 & 2 6 & 8 endpmatrix – beginpmatrix 1 & 0 -2 & 5 endpmatrix$
Untuk mengurangkan matriks, kita kurangkan elemen-elemen yang bersesuaian:
$2A – B^T = beginpmatrix 4-1 & 2-0 6-(-2) & 8-5 endpmatrix = beginpmatrix 3 & 2 6+2 & 3 endpmatrix = beginpmatrix 3 & 2 8 & 3 endpmatrix$

Jadi, hasil dari $2A – B^T$ adalah $beginpmatrix 3 & 2 8 & 3 endpmatrix$.

Contoh Soal 3.2:

Tentukan invers dari matriks $C = beginpmatrix 3 & -1 2 & 5 endpmatrix$.

Pembahasan:

Untuk mencari invers dari matriks $2 times 2$, $C = beginpmatrix a & b c & d endpmatrix$, rumusnya adalah $C^-1 = frac1det(C) beginpmatrix d & -b -c & a endpmatrix$.

Langkah pertama adalah menghitung determinan dari matriks C, $det(C)$.
$det(C) = (3 times 5) – (-1 times 2)$
$det(C) = 15 – (-2)$
$det(C) = 15 + 2 = 17$

Karena determinannya tidak nol (yaitu 17), maka invers dari matriks C ada.

Sekarang, gunakan rumus invers:
$C^-1 = frac117 beginpmatrix 5 & -(-1) -2 & 3 endpmatrix$
$C^-1 = frac117 beginpmatrix 5 & 1 -2 & 3 endpmatrix$

Kita bisa mendistribusikan $frac117$ ke setiap elemen matriks:
$C^-1 = beginpmatrix frac517 & frac117 -frac217 & frac317 endpmatrix$

Jadi, invers dari matriks C adalah $beginpmatrix frac517 & frac117 -frac217 & frac317 endpmatrix$.

Bagian 4: Transformasi Geometri

Transformasi geometri mempelajari perubahan posisi dan ukuran suatu objek pada bidang datar. Empat jenis transformasi dasar yang umum dibahas adalah translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.

Contoh Soal 4.1:

Bayangan titik $P(3, -2)$ oleh translasi $T = beginpmatrix -1 4 endpmatrix$ adalah $P’$. Tentukan koordinat $P’$.

Pembahasan:

Translasi adalah pergeseran objek. Jika sebuah titik $(x, y)$ ditranslasikan oleh vektor $beginpmatrix a b endpmatrix$, maka bayangannya $(x’, y’)$ adalah $x’ = x+a$ dan $y’ = y+b$.

Dalam soal ini, titik $P$ memiliki koordinat $(3, -2)$, sehingga $x=3$ dan $y=-2$. Vektor translasinya adalah $T = beginpmatrix -1 4 endpmatrix$, sehingga $a=-1$ dan $b=4$.

Koordinat bayangan $P'(x’, y’)$ adalah:
$x’ = x + a = 3 + (-1) = 3 – 1 = 2$
$y’ = y + b = -2 + 4 = 2$

Jadi, koordinat bayangan titik P adalah $P'(2, 2)$.

Contoh Soal 4.2:

Tentukan bayangan titik $A(1, 5)$ setelah dirotasi sebesar $90^circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat $O(0,0)$, kemudian dicerminkan terhadap sumbu y.

Pembahasan:

Kita akan melakukan dua transformasi secara berurutan.

Langkah 1: Rotasi $90^circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap O(0,0).
Jika titik $(x, y)$ dirotasi sebesar $90^circ$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal, maka bayangannya adalah $(-y, x)$.
Titik $A(1, 5)$ memiliki $x=1$ dan $y=5$.
Bayangan setelah rotasi, sebut saja $A’$, adalah $(-5, 1)$.

Langkah 2: Pencerminan terhadap sumbu y.
Jika titik $(x, y)$ dicerminkan terhadap sumbu y, maka bayangannya adalah $(-x, y)$.
Titik $A'(-5, 1)$ memiliki $x = -5$ dan $y = 1$.
Bayangan setelah pencerminan, sebut saja $A”$, adalah $(-(-5), 1) = (5, 1)$.

Jadi, bayangan titik A setelah transformasi adalah $(5, 1)$.

Bagian 5: Statistika

Statistika mempelajari cara mengumpulkan, mengolah, menyajikan, dan menganalisis data. Ukuran pemusatan dan penyebaran data adalah konsep fundamental.

Contoh Soal 5.1:

Diberikan data hasil ulangan matematika kelas XI IPA 2:
7, 8, 6, 7, 9, 5, 8, 7, 6, 9, 8, 7, 7, 6, 8, 9, 7, 8, 7, 6

Tentukan:
a. Mean (Rata-rata)
b. Median (Nilai Tengah)
c. Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul)

Pembahasan:

a. Mean (Rata-rata)
Mean dihitung dengan menjumlahkan semua nilai data kemudian dibagi dengan banyaknya data.
Jumlah data = $7+8+6+7+9+5+8+7+6+9+8+7+7+6+8+9+7+8+7+6 = 145$
Banyaknya data = 20

Mean = $fractextJumlah DatatextBanyaknya Data = frac14520 = 7.25$

b. Median (Nilai Tengah)
Untuk mencari median, data harus diurutkan terlebih dahulu dari yang terkecil hingga terbesar.
Data terurut: 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9

Karena banyaknya data genap (n=20), median adalah rata-rata dari dua nilai tengah. Posisi nilai tengah adalah pada data ke-n/2 dan data ke-(n/2)+1.
Posisi median = data ke-10 dan data ke-11.
Data ke-10 = 7
Data ke-11 = 7

Median = $frac7+72 = 7$

c. Modus (Nilai yang Paling Sering Muncul)
Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam kumpulan data. Mari kita hitung frekuensi setiap nilai:

• 5: 1 kali
• 6: 4 kali
• 7: 7 kali
• 8: 5 kali
• 9: 3 kali

Nilai yang paling sering muncul adalah 7, yaitu muncul sebanyak 7 kali.

Jadi:
a. Mean = 7.25
b. Median = 7
c. Modus = 7

Bagian 6: Peluang

Peluang mempelajari kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Konsep-konsep seperti ruang sampel, kejadian, dan aturan pencacahan (permutasi, kombinasi) adalah dasar untuk menghitung peluang.

Contoh Soal 6.1:

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah, 3 bola biru, dan 2 bola hijau. Jika diambil 3 bola sekaligus secara acak, berapakah peluang terambilnya 2 bola merah dan 1 bola hijau?

Pembahasan:

Langkah pertama adalah menentukan ruang sampel, yaitu jumlah total cara mengambil 3 bola dari seluruh bola yang ada.
Jumlah total bola = 5 (merah) + 3 (biru) + 2 (hijau) = 10 bola.
Jumlah cara mengambil 3 bola dari 10 bola adalah menggunakan kombinasi:
$n(S) = C(10, 3) = frac10!(10-3)!3! = frac10!7!3! = frac10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 10 times 3 times 4 = 120$ cara.

Selanjutnya, kita tentukan jumlah cara kejadian yang diinginkan (terambil 2 bola merah dan 1 bola hijau).

• Jumlah cara mengambil 2 bola merah dari 5 bola merah: $C(5, 2) = frac5!(5-2)!2! = frac5!3!2! = frac5 times 42 times 1 = 10$ cara.
• Jumlah cara mengambil 1 bola hijau dari 2 bola hijau: $C(2, 1) = frac2!(2-1)!1! = frac2!1!1! = 2$ cara.

Jumlah cara terambilnya 2 bola merah dan 1 bola hijau adalah hasil perkalian dari kedua cara tersebut:
$n(A) = C(5, 2) times C(2, 1) = 10 times 2 = 20$ cara.

Peluang kejadian A adalah:
$P(A) = fracn(A)n(S) = frac20120 = frac16$

Jadi, peluang terambilnya 2 bola merah dan 1 bola hijau adalah $frac16$.

Contoh Soal 6.2:

Dua buah dadu dilempar undi bersamaan sebanyak 108 kali. Berapa kali kira-kira muncul jumlah mata dadu prima?

Pembahasan:

Pertama, kita tentukan ruang sampel dari pelemparan dua dadu. Setiap dadu memiliki 6 sisi, sehingga total pasangan hasil adalah $6 times 6 = 36$.
$n(S) = 36$.

Selanjutnya, kita tentukan kejadian munculnya jumlah mata dadu prima. Angka prima yang mungkin muncul sebagai jumlah dua mata dadu adalah 2, 3, 5, 7, 11.

• Jumlah 2: (1,1) – 1 cara
• Jumlah 3: (1,2), (2,1) – 2 cara
• Jumlah 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) – 4 cara
• Jumlah 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) – 6 cara
• Jumlah 11: (5,6), (6,5) – 2 cara

Total cara muncul jumlah mata dadu prima adalah $1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ cara.
Jadi, kejadian A adalah muncul jumlah mata dadu prima, $n(A) = 15$.

Peluang munculnya jumlah mata dadu prima dalam satu kali pelemparan adalah:
$P(A) = fracn(A)n(S) = frac1536 = frac512$

Sekarang, kita ingin mengetahui perkiraan berapa kali kejadian ini muncul jika dilempar sebanyak 108 kali.
Perkiraan frekuensi = $P(A) times textJumlah Percobaan$
Perkiraan frekuensi = $frac512 times 108$
Perkiraan frekuensi = $5 times frac10812$
Perkiraan frekuensi = $5 times 9 = 45$ kali.

Jadi, diperkirakan jumlah mata dadu prima akan muncul sebanyak 45 kali.

Penutup

Menguasai materi matematika kelas 11 semester 2 memerlukan pemahaman konsep yang kuat dan latihan soal yang konsisten. Kumpulan contoh soal dan pembahasan di atas mencakup berbagai topik esensial yang sering diujikan. Ingatlah bahwa kunci keberhasilan bukanlah menghafal soal, melainkan memahami logika di balik setiap penyelesaian.

Teruslah berlatih, jangan ragu untuk bertanya jika ada materi yang belum dipahami, dan selalu jaga semangat belajar Anda. Dengan persiapan yang matang, Anda pasti dapat meraih hasil terbaik dalam ulangan matematika semester 2 ini. Selamat belajar dan semoga sukses!